Question

19．如圖，直線l與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，且與半徑OA垂直，垂足為H，∠ODC=30°，在OD的延長線上取一點(diǎn)B，使得AD=BD，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 求出△OAD是等邊三角形，推出∠OAD=∠ODA=60°，求出∠DAB=∠B=30°，求出∠OAB=90°，求出△OAB和扇形OAD的面積，即可求出答案．

解答 解：直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：∵AO⊥CD，
∴∠OAD=90°，
∵∠ODC=30°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠OAD=∠ODA=60°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∵∠ODA=∠B+∠DAB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠OAB=30°+60°=90°，
∵∠B=30°，∠OAB=90°，OA=2，
∴OB=2OA=4，由勾股定理得：AB=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積S=S_△OAB-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案為：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用機(jī)密性推理和計(jì)算的能力．