Question

13．已知矩形ABCD，AB=4，BD=2．現(xiàn)有另一個(gè)與矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比為2：1．最初矩形EFGH的GH邊放置在∠BCD的平分線處（如圖1），現(xiàn)將矩形EFGH 沿著FG作一條直線l，再連接AH、BH、DH、BE，設(shè)BC與EH的交點(diǎn)為M，CD與 GH的交點(diǎn)為N（若沒有交點(diǎn)則不計(jì)），回答下列問(wèn)題．
（1）如圖1，當(dāng)矩形ABCD矩形EFGH都不動(dòng)時(shí)，求出矩形ABCD與矩形EFGH重合部分三角形的面積．
（2）如圖2，現(xiàn)矩形ABCD不動(dòng)，矩形EFGH沿直線l開始出發(fā)，以1m/s的速度移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t，矩形ABCD與矩形EFGH重合部分的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的取值范圍，并且求出當(dāng)t為多少時(shí)，S為最大值？
（3）如圖3，矩形ABCD仍然不動(dòng)，矩形EFGH運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后停止在某一個(gè)點(diǎn)，并且此時(shí)△CEH為等腰三角形，這時(shí)，在△AHC中，AH=HC成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)S和t的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)相似和矩形的性質(zhì)，判斷出△HMD為等腰直角三角形，然后再求出矩形ABCD與矩形EFGH重合部分三角形的面積即可；
（2）作過(guò)點(diǎn)D作DT⊥EN于點(diǎn)T，再根據(jù)矩形性質(zhì)得出函數(shù)關(guān)系式，可求出最大值；
（3）首先連接AE，交CH與點(diǎn)Q，連接HD，則AC=CE=EH=2，所以ACEH是等腰梯形，進(jìn)而判斷出△AHC、△BHD是等腰三角形，所以AH=HC成立；然后根據(jù)（2）求出的S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，求出此時(shí)S和t的值各是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，
∵HD平分∠BDC，
∴∠HDM=∠HDB=45°，
∵矩形ABCD相似于矩形EFGH，相似比為2：1，
∴HD=1，EH=2，
∵四邊形EFHD為矩形，
∴∠MDH=90°，
∴△HMD為等腰直角三角形，即HD=HM=1，
∴△MHD面積=$\frac{1}{2}$．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥EN于點(diǎn)T，
由題意和（1）可得：
∠BDG=∠CDF=45°
∵DG=t，∠DGN=90°，
∴NG=t，
∴HN=1-t，
∵∠EHG=∠HGF=90°，DT⊥EH，
∴四邊形DTNG為矩形，
∴DT=1
∵∠HDG=45°，
∴∠HDT=45°，
∴S_△MDT=$\frac{1}{2}$，S_梯形=$\frac{1}{2}$（HN+DT）•HT，
∴S_重合=S_△MDT+S_梯形THND，
∵HN=1-t，DT=1，HT=DG=t，
∴S=-t²+2t+$\frac{1}{2}$（0＜t＜3），
當(dāng)t=1時(shí)，S為最大值．
（3）如圖3，連接AE，交CH與點(diǎn)Q，連接HD，
則AC=CE=EH=2，
∴四邊形ACEH是等腰梯形，
∴∠CAE=∠CEA，∠CHE=∠HCE，
又∵∠HAE=∠CEA，
∴∠HAE=∠CAE，
又∵∠AHC=∠HCE，
∴∠AHC=∠CHE，
∴∠HAC=∠HCA，
∴AH=CH，
在△ACH中，
2∠ACH+∠AHC=180°，
在△CEH中，
2∠CHE+∠CEH=180°，
∵∠CEH=∠AEH+∠CEA=∠ACH+∠CHE，
∴∠ACH+3∠CHE=180°，
又∵∠AHC=∠CHE，
∴∠AHC=36°，∠ACH=72°，
則∠CAH=72°，
∴AH=HC．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用．
（2）此題還考查了相似的性質(zhì)和應(yīng)用，以及矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握．