Question

14．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點，且DB=EC．
（1）畫圖：在BC邊上找一點P，使點P到點D、點E的距離的和最短（簡要說明
畫法，保留畫圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，證明PB=PC．

Answer 1

分析 （1）作點E關(guān)于直線BC的對稱點E′，連接DE′，DE′與直線BC的交點P的位置即為所求．
（2）連接CE′，由對稱軸的性質(zhì)得EC=EC′，進(jìn)而求得DB=E′C，然后根據(jù)AAS證得△PBD≌△PCE′，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等從而證得結(jié)論．

解答 解；（1）如圖，作點E關(guān)于直線BC的對稱點E′，連接DE′，DE′與直線BC的交點P的位置即為所求．
（2）連接CE′，由對稱軸的性質(zhì)得EC=EC′，
∵DB=EC，
∴DB=E′C，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ECB=∠E′CP=60°，
在△PBD和△PCE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E′CP}\\{∠BPD=∠CPE′}\\{DB=E′C}\end{array}\right.$
∴△PBD≌△PCE′（AAS），
∴PB=PC．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，涉及正三角形的性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識．