Question

請證明愛爾可斯定理：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連接AE、CE、CD，M是AE的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，連接QM、QN、PM、CN、PH、GH，根據(jù)三角形的中位線定理得出QM=

1

2

AB，QN=

1

2

BC，PH=

1

2

AC，NG=

1

2

EF，PM=

1

2

DE，HG=

1

2

DF，∠NQE=∠CBE，∠AMP=∠AED，∠ABE=∠MQE，進(jìn)而證得QM=QN=PH，PM=NG=HG，∠PMQ=∠GNQ=∠PHG，根據(jù)SAS證明三角形全等，證得PG=PQ=QG即可證得．

解答：證明：連接AE、CE、CD，M是AE的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，連接QM、QN、PM、CN、PH、GH，
∵△PQG由線段AD、BE、CF的中點(diǎn)構(gòu)成的三角形，M是AE的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
∴QM=

1

2

AB，QN=

1

2

BC，PH=

1

2

AC，NG=

1

2

EF，PM=

1

2

DE，HG=

1

2

DF，∠NQE=∠CBE，∠AMP=∠AED，∠ABE=∠MQE，
∵AB=BC=AC，EF=DE=DF，
∴QM=QN=PH，PM=NG=HG，
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED，∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°，
∴∠PMQ=∠GNQ，
在△PQM和△GQN中，

QM=QN PM=NG ∠PMQ=∠GNQ

，
∴△PQM≌△GQN（SAS），
∴PQ=QG，
同理可證：PG=PQ=QG，
∴△PQG是正三角形．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)等，本題的難點(diǎn)是利用三角形的外角的定理證得∠PMQ=∠GNQ=∠PHG．