Question

19．如圖所示，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)．
（1）求證：△BCD≌△ACE；
（2）若AE=12，DE=15，求AB的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，求出∠ACE=∠BCD，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等求出AE=BD，∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，在Rt△EAD中，由勾股定理求出AD，即可得出AB的長度．

解答 （1）證明：∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE=12，∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=45°+45°=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴AB=BD+AD=12+9=21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ACE≌△BCD和求出AD的長，難度適中．