Question

對于每個非零自然數n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁的值是（　�。�

• A、

  2011

  2010

• B、

  2010

  2011

• C、

  2012

  2011

• D、

  2011

  2012

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：規(guī)律型

分析：當n=1時，y=x²-

3

2

x+

1

2

，設y=x²-

3

2

x+

1

2

的兩根式a，b，則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

1

2

=1-

1

2

，同法求出當n=2時，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，當n=3時，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，當n=2011時，A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

-

1

2012

，相加即可求出答案．

解答：解：當n=1時，y=x²-

3

2

x+

1

2

，
設y=x²-

3

2

x+

1

2

的兩根式a，b，則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，
A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

．
當n=2時，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，
當n=3時，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，
…
當n=n=2011時，A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

-

1

2012

，
所以A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故選D．

點評：本題主要考查對拋物線與x軸的交點，根與系數的關系，完全平方公式等知識點的理解和掌握，能根據所得的數據找出規(guī)律是解此題的關鍵．