Question

如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線y=-

1

2

x+b過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；
（3）連接OF、OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關系，并證明；
（4）若點P是x軸上的動點，點Q是（1）中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動點，且使得△PDQ為等腰直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結(jié)論；
（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．由于點D在反比例函數(shù)的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線y=-

1

2

x+b上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；
（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．設直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線．所以OG是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結(jié)論；
（4）分△PDQ的三個角分別是直角，三種情況進行討論，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，即可構(gòu)造全等的直角三角形，設出P的坐標，根據(jù)點在圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式即可求解．

解答：解：（1）設反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

k

x

，
∵反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4），
∴4=

k

3

，即k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

12

x

；

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點D的縱坐標為3，即D（4，3），
∵點D在直線y=-

1

2

x+b上，
∴3=-

1

2

×4+b，
解得：b=5，
∴直線DF為y=-

1

2

x+5，
將y=4代入y=-

1

2

x+5，得4=-

1

2

x+5，
解得：x=2，
∴點F的坐標為（2，4）．

（3）∠AOF=

1

2

∠EOC，理由為：
證明：在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴∠AOF=∠COG．
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．
∴EG=HG．
設直線EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴

3m+n=4 4m+n=2

，
解得

m=-2 n=10

，
∴直線EG：y=-2x+10．
令y=-2x+10=0，得x=5．
∴H（5，0），OH=5．
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5．
∴OH=OE．
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線．
∴OG是等腰三角形頂角的平分線．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=

1

2

∠EOC；

（4）當Q在D的右側(cè)（如圖1），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QL⊥DK，于點L．
則△DPK≌△QDK，
設P的坐標是（a，0），則KP=DL=4-a，QL=DK=3，則Q的坐標是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），
把（7，-1+a）代入y=

12

x

得：7（-1+a）=12，
解得：a=

19

7

，
則P的坐標是（

19

7

，0）；
當Q在D的左側(cè)（如圖2），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，
則△QDL≌△PDK，
則DK=DL=3，設P的坐標是b，則PK=QL=4-b，則QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，
則Q的坐標是（1，7-b），代入y=

12

x

得：b=-5，則P的坐標是（-5，0）；
當Q在D的右側(cè)（如圖3），且∠DQP=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，
則△QDL≌△PQK，則DK=DL=3，設Q的橫坐標是c，則縱坐標是

12

c

，
則QK=QL=

12

c

，
又∵QL=c-4，
∴c-4=

12

c

，
解得：c=-2（舍去）或6．
則PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-

12

6

=1，
∴OP=OK-PK=6-1=5，
則P的坐標是（5，0）；
當Q在D的左側(cè)（如圖3），且∠DQP=90°時，不成立；
當∠DPQ=90°時，（如圖4），作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，
則△DPR≌△PQK，
∴DR=PK=3，RP=QK，
設P的坐標是（d，0），
則RK=QK=d-4，
則OK=OP+PK=d+3，
則Q的坐標是（d+3，d-4），代入y=

12

x

得：（d+3）（d-4）=12，
解得：d=

1+ 97

2

或

1- 97

2

（舍去）．
則P的坐標是（

1+ 97

2

，0）．
總之，P的坐標是（

19

7

，0）或（-5，0）或（

1+ 97

2

，0）或（5，0）．

點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形是關鍵．