Question

2．如圖，點(diǎn)A（3，4）在直線y=kx上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B點(diǎn)，拋物線y=$\frac{1}{9}$x²+m過點(diǎn)M（0，-1），問：
（1）m=-1，k=$\frac{4}{3}$；
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線y=kx的對(duì)稱點(diǎn)為C點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若拋物線與x軸的交點(diǎn)為Q，試問在直線y=kx上是否存在點(diǎn)P，使得∠CPQ=∠OAB？如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線y=$\frac{1}{9}$x²+m，即可求出m的值；把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線y=kx，即可求出k的值；
（2）由軸對(duì)稱得出OA是CB的中垂線，根據(jù)互相垂直的兩條直線的關(guān)系，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BC的解析式，再聯(lián)立方程可求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先求出Q的坐標(biāo)，①當(dāng)Q 為（3，0）時(shí)，Q與B重合；以A為圓心，AB為半徑作圓交OA于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；此時(shí)AP=AB=4，作PH⊥x軸于H，則AB∥PH，△OAB∽△OPH，得出比例式$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OB}{OH}$=$\frac{AB}{PH}$，求出OH、PH，即可得出P的坐標(biāo)；由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得另一點(diǎn)P′的坐標(biāo)；②當(dāng)Q 為（-3，0）時(shí)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓交OA于兩點(diǎn)，即為P點(diǎn)；作PH⊥OB于H，則PH∥AB，△OPH∽△OAB，得出比例式$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OH}{OB}$=$\frac{PH}{AB}$，求出OH、PH即可得出P的坐標(biāo)；由中心對(duì)稱可得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{9}$x²+m過點(diǎn)M（0，-1），
∴m=-1，
∵點(diǎn)A（3，4）在直線y=kx上，
∴3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$．
故答案為：-1，$\frac{4}{3}$；
（2）如圖1，
∵點(diǎn)C、B關(guān)于直線OA對(duì)稱，
∴OA是CB的中垂線，
∵AB⊥x軸，
∴B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，則-$\frac{3}{4}$×3+b=0，
解得b=$\frac{9}{4}$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{27}{25}$，$\frac{36}{25}$）
∴C（-$\frac{21}{25}$，$\frac{72}{25}$）；
（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$），或（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$），或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
理由如下：
由y=$\frac{1}{9}$x²-1，當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{9}$x²-1=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0），
①當(dāng)Q 為（3，0）時(shí)，Q與B重合；
以A為圓心，AB為半徑作圓交OA于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，如圖2所示：
∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；
此時(shí)AP=AB=4，作PH⊥x軸于H，
則AB∥PH，
∴△OAB∽△OPH，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OB}{OH}$=$\frac{AB}{PH}$，
即$\frac{5}{9}$=$\frac{3}{OH}$=$\frac{4}{PH}$，
∴OH=$\frac{27}{5}$，PH=$\frac{36}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）；
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得另一點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$）；
②當(dāng)Q 為（-3，0）時(shí)，如圖3所示：
設(shè)BC與OA交于M點(diǎn)，
∴CM=MB，QO=OB，
∴CQ∥OA，
∴∠QCB=∠OMB=90°，
以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓交OA于兩點(diǎn)，即為P點(diǎn)，
點(diǎn)C在⊙O上，∠CPQ=∠CBQ，
∵∠CBQ+∠POB=∠OAB+∠POB=90°，
∴∠CBQ=∠OAB，
∴∠CPQ=∠OAB滿足條件，
∴OP=OB=3，
作PH⊥OB于H，則PH∥AB，
∴△OPH∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OH}{OB}$=$\frac{PH}{AB}$，
即$\frac{3}{5}$=$\frac{OH}{3}$=$\frac{PH}{4}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，PH=$\frac{12}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
由中心對(duì)稱可得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$），或（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$）或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題目，考查了一次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)解析式的求法、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、中心對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過作輔助圓和三角形相似才能得出結(jié)果．