Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B（x₀，0），其中x₀＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．
（1）求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P₀，使P₀到點A與點C的距離之和最�。�
（2）若△PAC周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；
（3）如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過點M作MH∥CB交x軸于點H，設M移動的時間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時間t的函數，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的條件下，當時，過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點，問：過E、F、C三點的圓與直線CN能否相切于點C？請證明你的結論．（備用圖圖3）

Answer 1

解：（1）由題意直線AC與x軸的交點為A，
所以當y=0，則x=-6，
所以點A（-6，0）．
同理點C（0，8），
由題意，A、B是拋物線y=ax²+bx+8與x軸的交點，
∴-6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的兩個根，
∴-6+x₀=-，-6x₀=，
∴a=-，b=-+．
∵A、B點關于拋物線對稱，∴BC所在直線與對稱軸的交點即為P₀．
設直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx₀+n=0，
∴m=-，n=8．
∴BC的解析式為y=-x+8．
∴當x=-=時，y=+4，
∴P₀的坐標為（，+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，
+=10，
解得x₀=10或x₀=-10（不符舍去），
則點B（10，0），
由點A，B，C三點的二次函數式為y==-（x-2）²+．
頂點N（2，）；

（3）如圖，作MN⊥BC于點N，
則△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因為MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MH•h，
=×（8-2t）×，
=10t-，
因為每秒移動2個單位，
則當t=2時符合范圍0＜t＜4，
所以當t為2時S最大為10；

（4）把S的取值代入（3）中表達式中求得t，
從而得到點M的坐標，
，即=-t²+10t，
則解得t₁=，t₂=．
則由題意知C、E、F三點所在圓半徑為4，
所以直線CN與C、F、E所在圓相切．
分析：（1）由題意A、B點關于拋物線對稱，則BC所在直線與對稱軸的交點即為P₀；
（2）由（1）所求可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出x₀，而解得；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高關于t的式子，因為MH∥BC，得到三角形MHP₀三角形底邊關于t的表達式，根據t的取值范圍，從而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表達式中求得t，從而得到點M的坐標，從而證明各點．
點評：本題考查了二次函數的綜合應用，知道三點求二次函數式，考查一次函數與二次函數的結合求三角形面積，知道面積求點，很好結合，是道好題．