Question

（2013•吳江市模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點B（-3，0），C（1，0），與y軸相交于點4（0，-3），O為坐標原點．點M為y軸上的動點，當點M運動到使∠OMC+∠OAC=∠ABC時，AM的長度為

1或5

．

Answer 1

分析：在OA上截取ON=OC=1，分類討論，①M在y軸上半軸上，②M在y軸下半軸上，利用外角的知識及∠OMC+∠OAC=∠ABC，證明△CAN∽△M₁AC，△CNA∽△M₂AC，繼而可分別求出AM的長度．

解答：解：
連接AB，AC，
∵OB=OA=3，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
在OA上截取ON=OC=1，則∠ONC=∠OCN=45°，
在Rt△OAC中，AC=

OC2+OA2

=

10

，在Rt△ONC中，NC=

OC2+ON2

=

2

，
①當M在y軸上半軸上時，∠ONC=∠OAC+∠NAC=45°，
∵∠ABC=∠OMC+∠OAC=45°，
∴∠OMC=∠NAC，
又∵∠CAN=∠M₁AC（同一個角），
∴△CAN∽△M₁AC，
∴

AN

AC

=

AC

AM1

，即

2

10

=

10

AM1

，
解得：AM₁=5．
②當M在y軸下半軸上時，∠ONC=∠OM₂C+∠NCM₂=45°，
∵∠ABC=∠OM₂C+∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠NCM₂，
又∵∠CNA=∠M₂NC（同一個角），
∴△CNA∽△M₂AC，
∴

NM2

NC

=

NC

AN

，即

NM2

2

=

2

2

，
解得：NM₂=1，
故AM₂=OA-ON-NM₂=1．
綜上可得AM的長度為1或5．
故答案為：1或5．

點評：本題考查了二次函數的綜合，解答本題的關鍵是分類討論點M的位置，利用相似三角形的性質：對應邊成比例求出有關線段的長度，有一定難度．