Question

17．拓廣探索：七年某班師生為了解決“2²⁰¹⁴個位上的數(shù)字是4．”這個問題，通過觀察、分析、猜想、驗證、歸納等活動，從而使問題得以解決，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想方法．師生共同探索如下：
（1）認真填空，仔細觀察．
因為2¹=2，所以2¹個位上的數(shù)字是2；因為 2²=4，所以2²個位上的數(shù)字是4；因為 2³=8，所以 2³個位上的數(shù)字是8；因為 2⁴=16，所以2⁴個位上的數(shù)字是6；因為 2⁵=32，所以 2⁵個位上的數(shù)字是2；因為 2⁶=64，所以2⁶個位上的數(shù)字是4；
（2）小明是個愛動腦筋的學生，他利用上述方法繼續(xù)探索，馬上發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，于是猜想：2¹⁰個位上的數(shù)字是4，你認為對嗎？
（3）利用上述得到的規(guī)律，可知：2²⁰¹³個位上的數(shù)字是2．
（4）利用上述研究數(shù)學問題的思想與方法，試求：3²⁰¹⁴個位上的數(shù)字是9．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)運算法則直接求出各數(shù)即可；
（2）利用（1）中所求得出尾數(shù)每4個一循環(huán)分別為：2，4，8，6，進一步計算得出2¹⁰個位上的數(shù)字是4；
（3）利用（2）中的規(guī)律得出答案；
（4）利用（2）中規(guī)律得出3的指數(shù)變化與尾數(shù)的關(guān)系．

解答 解：（1）因為2¹=2，所以2¹個位上的數(shù)字是2；
因為2²=4，所以2²個位上的數(shù)字是4；
因為2³=8，所以2³個位上的數(shù)字是8；
因為2⁴=16，所以2⁴個位上的數(shù)字是6；
因為2⁵=32，所以2⁵個位上的數(shù)字是2；
因為2⁶=64，所以2⁶個位上的數(shù)字是4；

（2）由（1）可得出：尾數(shù)每4個一循環(huán)分別為：2，4，8，6尾數(shù)每4個一循環(huán)，
10÷4=2…2，
則2¹⁰個位上的數(shù)字與第2個數(shù)據(jù)相等是4；

（3）∵2013÷4=503…1，
∴2²⁰¹³個位上的數(shù)字與第1個尾數(shù)相等是2；

（4）因為3¹=3，所以3¹個位上的數(shù)字是3；
因為3²=9，所以3²個位上的數(shù)字是9；
因為3³=27，所以3³個位上的數(shù)字是7；
因為3⁴=81，所以3⁴個位上的數(shù)字是1；
因為3⁵=243，所以3⁵個位上的數(shù)字是3；
…
∴尾數(shù)每4個一循環(huán)，
∵2014÷4=503…2，
∴3²⁰¹⁴個位上的數(shù)字是9．
故答案為：4；16，6；32，2；64，4；2；9．

點評 此題主要考查了數(shù)字尾數(shù)特征，根據(jù)指數(shù)的變化得出位置的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．