Question

11．已知：如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，OA與⊙O 交于點(diǎn)D，若OA=OB，AD=CD，∠A=30°
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求OA的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠A以及∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠OCA的度數(shù)求出即可；
（2）利用已知得出BC以及AC的值進(jìn)而求出AC的長．

解答 （1）證明：連接OC．
∵AD=CD，∠A=30°，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠ODC=∠A+∠ACD=60°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴直線AB為⊙O的切線；

（2）解：∵OA=OB，OC⊥AB，AB=4$\sqrt{3}$，
∴BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴OA=2OC，
∵在Rt△ACO中，OA²=OC²+AC²，
∴AC=4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定和勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠AOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．