Question

4．如圖，正方形ABCD頂點(diǎn)A，D在⊙O上，邊BC經(jīng)過⊙O上一定P，且PF平分∠AFC，邊 AB，CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若FC=2，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）證明：連接OP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵PF平分∠AFC，
∴∠AFP=∠PFC，
∵OP=OF，
∴∠AFP=∠OPF，
∴∠PFC=∠OPF，
∴OP∥CD，
∴∠BPO=∠C=90°，
∴OP⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=∠APF=90°，
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，
∴$\frac{AO}{AF}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BA，
∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，
∴∠APB=∠PFC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△APB∽△PFC，
∴$\frac{FC}{PB}=\frac{CP}{BA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{FC}{CP}=\frac{PB}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴PC=2FC=4．

解答 （1）證明：連接OP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵PF平分∠AFC，
∴∠AFP=∠PFC，
∵OP=OF，
∴∠AFP=∠OPF，
∴∠PFC=∠OPF，
∴OP∥CD，
∴∠BPO=∠C=90°，
∴OP⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=∠APF=90°，
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，
∴$\frac{AO}{AF}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BA，
∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，
∴∠APB=∠PFC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△APB∽△PFC，
∴$\frac{FC}{PB}=\frac{CP}{BA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{FC}{CP}=\frac{PB}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴PC=2FC=4．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．