Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，且AE=

2

3

AB，EF⊥EC交AD于點(diǎn)F，連結(jié)FC．
（1）求證：△AEF∽△BCE；
（2）求cos∠ECF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件可得：∠A=∠B=90°和∠CEB=∠AFE，進(jìn)而證明：△AEF∽△BCE；
（2）設(shè)EF=2k，EC=3k，由勾股定理可得：FC=

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k，又因?yàn)?span id="bodqe01" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">AE=

2

3

AB，根據(jù)余弦的定義即可求出cos∠ECF的值．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
又∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CEB=∠AFE，
∴△AEF∽△BCE．
（2）∵AE=

2

3

AB，
∴

AE

BC

=

2

3

，
又△AEF∽△BCE，
∴

EF

CE

=

AE

BC

=

2

3

，
設(shè)EF=2k，EC=3k，∴FC=

13

k，
∴cos∠ECF=

EC

FC

=

3 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及余弦的定義以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．