Question

3．平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，A（m，n）滿(mǎn)足$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$過(guò)點(diǎn)A分別作x軸和y軸的平行線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C．M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從M點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段MA-AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求出A點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）用含有t的代數(shù)式表示線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度．
（3）作線(xiàn)段OP、PM、OM，當(dāng)三角形MOP的面積等于直角梯形AMOC的面積的$\frac{1}{2}$時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）解方程組求出方程組的解，即可得出答案；
（2）分為兩種情況：當(dāng)P在A(yíng)M上時(shí)，當(dāng)P在A(yíng)C上時(shí)，求出AP即可；
（3）分為兩種情況：當(dāng)P在A(yíng)M上時(shí)，當(dāng)P在A(yíng)C上時(shí)，分別求出△MOP和四邊形AMOC的面積，即可得出關(guān)于t的方程，求出t，即可得出答案．

解答 解：（1）解方程組$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=6}\end{array}\right.$，
即A的坐標(biāo)為（8，6）；

（2）∵根據(jù)題意知：四邊形OBAC是矩形，A（8，6），M為AB的中點(diǎn)，
∴OB=AC=6，AB=OC=8，AM=BM=4，
當(dāng)P在MA上時(shí)，AP=4-2t；
當(dāng)P在A(yíng)C上時(shí)，AP=2t-4；

（3）
當(dāng)P在A(yíng)M上時(shí)，如圖1，
∵當(dāng)三角形MOP的面積等于直角梯形AMOC的面積的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•2t•6=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+8）×6，
解得：t=3，當(dāng)t=3時(shí)，MP=6＞AM，此時(shí)不符合P在A(yíng)M上，舍去；
當(dāng)P在A(yíng)C上時(shí)，如圖2，

∵S_△OMP=S_{四邊形AMOC}-S_△AMP-S_△OPC=$\frac{1}{2}$×（4+8）×6-$\frac{1}{2}$×4×（2t-4）-$\frac{1}{2}$×（4+6-2t）×8=4+4t，
S_{四邊形AMOC}=$\frac{1}{2}×$（4+8）×6=36，
∴4+4t=$\frac{1}{2}$×36，
解得：t=$\frac{7}{2}$，
AP=2t-4=3，CP=6-3=3，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解二元一次方程組，矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能進(jìn)行分類(lèi)討論是解此題的關(guān)鍵．