Question

【題目】如圖，已知為的直徑，、是的弦，是的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，、的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）若，，求的半徑.

（3）在（2）中的條件下，，將以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求掃過(guò)的圖形的面積（結(jié)果用表示）.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圓的半徑為4；（3）BD掃過(guò)的圖形的面積為

【解析】

（1）如圖1（見(jiàn)解析），連接DO，先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推出，再由定理判定，從而可得，最后根據(jù)圓的切線(xiàn)的判定定理即可證；

（2）根據(jù)題（1）的結(jié)論，在中，利用勾股定理即可得；

（3）如圖2（見(jiàn)解析），先確定陰影部分為BD所掃過(guò)的圖形，再利用扇形和三角形的面積公式求解即可.

（1）如圖1，連結(jié)

∵

∴

又∵

∴

∴

在和中，

∴

∵是圓的切線(xiàn)

∴

∴

又∵點(diǎn)在圓上，OD為圓O的半徑

∴是圓的切線(xiàn)；

（2）如圖1，設(shè)圓的半徑為r

則

由題（1）的結(jié)論，是直角三角形

則，即，解得

故圓的半徑為4；

（3）如圖2，由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程得：陰影部分為BD所掃過(guò)的圖形

由題（2）可知

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，和的面積相等

則所掃過(guò)的圖形面積為：

空白區(qū)域的面積為：

因此，

故掃過(guò)的圖形的面積為.