Question

13．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，∠BAD=110°，則∠FPC的度數(shù)是55°．

Answer 1

分析 延長PF、EB交于點(diǎn)G；連接EF，易證△BGF≌△CPF，則點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，F(xiàn)P=FG=FE，則∠FPC=∠FGB=∠GEF；連接AC，則∠GEF=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=55°，進(jìn)而可求出∠FPC的度數(shù)．

解答 解：延長PF、EB交于點(diǎn)G；連接EF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AG∥DC，
∴∠GBF=∠PCF，
∵F是BC中點(diǎn)，
∴BF=CF，
在△BGF和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CPF，
∴PF=GF，
∴點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，
∵∠GEP=90°，
∴FP=FG=FE，
∴∠FPC=∠FGB=∠GEF，
連接AC，
則∠GEF=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=55°，
∴∠FPC的度數(shù)是55°，
故答案為：55°．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)難度較大，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，從而得到點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)．