Question

P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=5，PB=3，PC=4，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′位置．
①判斷△BPP′的形狀，并說(shuō)明理由；
②求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP′，∠PBP′=∠ABC=60°，然后根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形解答即可；
②根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得PP′=PB，三個(gè)角都是60°可得∠BPP′=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′C=PA，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠CPP′=90°，然后根據(jù)∠BPC=∠BPP′+∠CPP′計(jì)算即可得解．

解答：解：①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CBP′，
∴BP=BP′，∠PBP′=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等邊三角形；

②∵△BPP′是等邊三角形，
∴PP′=PB，∠BPP′=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，P′C=PA=5，
∵PP′²+PC²=3²+4²=25=P′C²，
∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠BPC=∠BPP′+∠CPP′=60°+90°=150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟記性質(zhì)與等邊三角形的判斷方法是解題的關(guān)鍵．