Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如圖①，四邊形DEFG為△ABC的內接正方形，則正方形的邊長=

 

；
 （2）如圖②，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，則正方形的邊長=

 

；
（3）如圖③，三角形內有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，則正方形的邊長=

 

；
（4）如圖④，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，則正方形的邊長=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：規(guī)律型

分析：（1）過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，由條件可求得AB=5，CM=2.4，由GF∥AB可得

CN

CM

=

GF

AB

，設正方形的邊長為x，則GF=MN=x，則CN=CM-MN=2.4-x，代入可求得x的值，即得出正方形的邊長；
（2）同理可過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，此時設正方形的邊長為x，則GF=2x，MN=x，CN=2.4-x，代入可求得x的值；
（3）同（2）可得出GF=3x，CN=2.4-x，代入可求得x的值；
（4）同（2）可得出GF=nx，CN=2.4-x，代入可求得x的值．

解答：解：（1）如圖①，過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，CM=2.4，
∵GF∥AB可，
∵

CN

CM

=

GF

AB

，
設正方形的邊長為x，則GF=MN=x，CN=CM-MN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

x

5

，
解得x=

60

37

，即正方形的邊長為

60

37

，
故答案為：

60

37

；
（2）如圖②，過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，
同理可得GF=2x，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

2x

5

，解得x=

60

49

，即正方形的邊長為

60

49

，
故答案為：

60

49

；
（3）如圖③，過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，
同理可得GF=3x，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

3x

5

，解得x=

60

61

，即正方形的邊長為

60

61

，
故答案為：

60

61

；
（4）如圖④，過C作CM⊥AB交AB于點M，交GF于點N，
同理可得GF=nx，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

nx

5

，解得x=

60

12n+25

，即正方形的邊長為

60

12n+25

，
故答案為：

60

12n+25

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，在（1）中利用條件找到GF和CM之間的比例關系是解題的關鍵，后面的解題過程可以類比（1）可得到答案．