Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)C、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 由勾股定理求出AC，分三種情況：①CD=BD時(shí)，∠C=∠DBC，證出BD=AD，得出CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即可得出結(jié)果；②當(dāng)CD=BC時(shí)，CD=3，即可得出結(jié)果；③當(dāng)BD=BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則CF=DF，由三角形的面積求出BF，由勾股定理求出CF，得出CD，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
分三種情況：
①CD=BD時(shí)，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即t=2.5；
②當(dāng)CD=BC時(shí)，CD=3，即t=3；
③當(dāng)BD=BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，如圖所示：
則CF=DF，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴BF=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-2．{4}^{2}}$=1.8，
∴CD=3.6，即t=3.6．
綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2.5或3或3.6秒時(shí)，以點(diǎn)C、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握勾股定理，通過(guò)進(jìn)行分類討論得出結(jié)果是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．