Question

2．如圖，二次函數y=-$\frac{1}{2}$x²+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，動點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，動點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設PQ交直線AC于點G．
（1）直接寫出點A（-2，0）、點C（0，2）的坐標，求直線AC的解析式；
（2）設△PQC的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、C點的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據根據線段的和差，可得OP的長，CQ的長，根據三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據余弦函數，可得AE的長，根據相似三角形的判定與性質，可得GH的長，根據余弦函數，可得GC的長，根據線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²+2，當x=0時，y=2，即C（0，2），
當y=0時，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0）．
設直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式是y=x+2；
（2）當0≤t＜2時，OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（2-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+t，
當2＜t≤4時，OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（t-2）t=$\frac{1}{2}$t²-t，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t（0＜t＜2）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-t（2≤t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）EG的長度不變，
當0＜t＜2時，如圖1，過G作GH⊥y軸，垂足為H．

由AP=t，可得AE=AP•cos∠PAE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∵GH∥OP，
∴$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，即$\frac{GH}{2-t}$=$\frac{GH+t}{2+t}$，
解得GH=1-$\frac{t}{2}$，
∴GC=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
于是GE=AC-AE-GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=$\sqrt{2}$，
即GE的長度不變；
當2＜t≤4時，如圖2，過G作GH⊥y軸，垂足為H．

由AP=t，可得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
由$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，$\frac{GH}{t-2}$=$\frac{t-GH}{2+t}$，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=$\frac{t-2}{2}$，GC=$\sqrt{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$．
于是GE=AC-AE+GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$=$\sqrt{2}$，
即CE的長度不變．
綜上所述：當P點運動時，線段EG的長度不發(fā)生不變化，為定值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用自變量與函數值的對應關系求圖象與坐標軸的交點，利用待定系數求函數解析式；利用三角形的面積得出函數解析式是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；利用相似三角形的判定與性質得出GH的長是解題關鍵，又利用了銳角三角函數，線段的和差，要分類討論，以防遺漏．