Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠BAC＝90°，分別以 AC 和 BC 為邊向外作正方形 ACFG 和正方形 BCDE，過點 D 做 FC 的延長線的垂線，垂足為點 H．

(1)求證：△ABC≌△HDC；

(2)連接 FD，交 AC 的延長線于點 M，若 AG＝ ，tan∠ABC＝ ，求△FCM 的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先判斷出∠ACB＝∠HCD，即可得出結論；（2）先求出△ABC 的面積，進而求出 S△HDC＝S△ABC＝，進而得出 S△DHF＝2S△CDH＝ ，再判斷出△FCM∽△FHD，即可得出結論.

（1）∵四邊形 BCDE 是正方形，

∴BC＝CD，∠BCD＝90°，

∵四邊形 ACFG 是正方形，

∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°，

∴∠ACB＝∠HCD，

∵DH⊥CF，

∴∠H＝90°＝∠BAC，

在△ABC 和△HDC 中， ，

,

∴△ABC≌△HDC；

（2）∵AG＝ ，

∴AC＝，

在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝，

∴AB＝ AC＝ ，

∴S△ABC＝ AB×AC＝ ，

∵△ABC≌△HDC，

∴S△HDC＝S△ABC＝，AC＝CH，

∴CH＝CF，

∴S△DHF＝2S△CDH＝，

∵∠FCM＝∠H＝90°，

∴CM∥HD，

∴△FCM∽△FHD，

∴，

∴S△FCM＝ S△FHD＝.