Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比為

1

2

．
（1）如果b=-2，求k的值；
（2）試探究k與b的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出直線OD的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出直線y=2x-2與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，由點(diǎn)D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-

b

2

，0），B（0，b），再根據(jù)△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k和b之間的關(guān)系，進(jìn)而也可以求出直線OD的解析式．

解答：解：（1）當(dāng)b=-2時(shí)，直線y=2x-2與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB∽△ACD，
∴CD=2OB，AO=2AC，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）．
∵點(diǎn)D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=3×4=12．

（2）直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-

b

2

，0），B（0，b）．
∵△AOB∽△ACD，
∴CD=2OB，AC=2AO，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

b，2b）
∵點(diǎn)D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=（

3b

2

）•（2b）=3b²，即k與b的數(shù)量關(guān)系為：k=3b²．
直線OD的解析式為：y=

4

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯(cuò)的中考試題．