Question

如圖，已知AD是△ABC的中線，分別以AB、AC為邊向外作正方形，得正方形ABHG和正方形ACEF，求證：
（1）GF=2AD；
（2）GF⊥AD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）延長AD至M，使DM=AD，連接BM，根據(jù)三角形的中線的定義可得BD=CD，然后利用“邊角邊”證明△BDM和△CDA全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBM=∠DCA，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行求出AC∥BM，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠ABM+∠BAC=180°，然后求出∠ABM=∠GAF，再利用“邊角邊”證明△ABM和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=AM；
（2）延長DA與GF相交于點N，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAM=∠AGF，再求出∠NAG+∠AGN=90°，然后證明即可．

解答：證明：（1）如圖，延長AD至M，使DM=AD，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BDM和△CDA中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA AD=DM

，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM=AC，∠DBM=∠DCA，
∴AC∥BM，
∴∠ABM+∠BAC=180°，
∵∠BAG=∠CAF=90°，
∴∠GAF+∠BAC=180°，
∴∠ABM=∠GAF，
在△ABM和△GAF中，

AB=AG ∠ABM=∠GAF AC=AF

，
∴△ABM≌△GAF（SAS），
∴GF=AM，
∴GF=2AD；

（2）延長DA與GF相交于點N，
∵△ABM≌△GAF，
∴∠BAM=∠AGF，
∵∠BAM+∠GAN=180°-90°=90°，
∴∠NAG+∠AGN=90°，
∴AN⊥GF，
故GF⊥AD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形．