Question

原題：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB=60°，BC=4，AD=2，△PMN，PM=MN=NP=a，BC與MN在一直線上，NC=6，將梯形ABCD向左翻折180°．
（1）向左翻折二次，a≥2時，求兩圖形重疊部分的面積；
（2）向左翻折三次，重疊部分的面積等于梯形ABCD的面積，a的值至少應(yīng)為多少？
（3）向左翻折三次，重疊部分的面積恰好等于梯形ABCD的面積的一半，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵CB=4，CN=6，∴GN=2．
又∵∠PNM=60°且∠EGN=60°，
∴△EGN為正三角形．
∴△EGN的高為h=．
∴S_△EGN=×2×=；

（2）在直角梯形ABCD中，
∵CD=4，∠DCB=60°，
∴AB=2．
在Rt△KHM中，tan30°=，
MH=2×=2，
∴MN=2+4+2=8；

（3）S_梯形ABCD=（2+4）•2=6．
當MP經(jīng)過H點時，交D′G于F，
則 S_△HGF=×4×2=4＞S_梯形ABCD．
∴HG＜4，
設(shè)HG=x，則有 h′=x．
∴S_公共部分=x•x=x²．
∴x²=3，
解得：x=2或-2（舍去）．
∵GN=2，
∴等邊三角形PNM的邊長a為（2+2）cm．
分析：（1）因為∠DCB=60°，△PMN也是等邊三角形，這樣容易知道△EGN也是等邊三角形，易求GN=2，所以求兩圖形重疊部分的面積就可以求出；
（2）如圖，等邊三角形的邊長MN=GN+HG+MH，其中只要求MH，利用已知解Rt△KHM就可以了；
（3）若現(xiàn)在重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，如圖首先判斷HG的大小，梯形ABCD的面積可以直接求出；然后設(shè)HG為x，根據(jù)已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程就可以得到題目的結(jié)果．
點評：本題考查了翻折變換及直角梯形的知識，難度較大，圖形變換比較復雜，考查了等邊三角形的性質(zhì)，面積計算，也考查了解直角三角形的知識，綜合性比較強，注意后面兩問表述的重疊面積的大�。�