Question

已知：△ABC是等邊三角形，分別過點A，B作AF∥BC，BE∥AC，AF，BE分別與過點C的直線交于點F，E，連接線段BF，AE，BF交AE于點D
（1）求證：△AFC∽△BCE；
（2）△ABC的邊長是3，AF=2，求BE的長；
（3）請你找出與△ABF相似的三角形，并證明．

Answer 1

（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠ACB，
∵BE∥AC，
∴∠EBC=∠ACB，
∴∠CAF=∠EBC．
在△AFC與△BCE中，∵∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠EBC，
∴△AFC∽△BCE；

（2）解：∵△AFC∽△BCE，
∴AF：BC=AC：BE，
∵等邊△ABC的邊長是3，
∴BC=AC=3，
又AF=2，
∴2：3=3：BE，
∴BE=；

（3）解：△BEA∽△ABF，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠ACB=120°，
∠FAB=∠CAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=120°，
∴∠ABE=∠FAB．
∵△BCE∽△AFC，
∴=，
∵AC=AB=BC，
∴=．
在△BEA與△ABF中，∵=，∠ABE=∠FAB，
∴△BEA∽△ABF．
分析：（1）先由平行線的性質(zhì)得出∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠EBC，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明△AFC∽△BCE；
（2）由△AFC∽△BCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例及等邊三角形的性質(zhì)即可求出BE的長；
（3）先根據(jù)等邊三角形及平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠FAB，再根據(jù)△BCE∽△AFC，得出=，則由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似即可證明△BEA∽△ABF．
點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．其中（3）通過觀察△ABF的形狀，得出∠ABE=∠FAB=120°，再由△BCE∽△AFC，進(jìn)而得出=是解題的關(guān)鍵．