Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

　　

(1)求n的取值范圍；

(2)若，且AO＋BO=3CO，求拋物線的解析式及點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的情形下，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AB，OC方向運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)AP=k，問是否存在這樣的k值，使以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出所有這樣的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)閽佄锞�y=－2n與x軸交于A(，0)，B(，0)兩點(diǎn)， 　　所以是方程－2n=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　所以Δ=＞0，解得n＞0． 　　(2)當(dāng)n＞時(shí)，36n＞1 　　 　　所以 　　因?yàn)锳O＋BO=3CO，所以，48n=，解得 　　因?yàn)?img align="absmiddle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0082/9e3cd2ff1f33cd363f173adaf280b0f9/C/Image24472.gif">=0不合題意，舍去，所以n=． 　　所以拋物線解析式為y= 　　解得=－8，=－4(因?yàn)?img align="absmiddle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0082/9e3cd2ff1f33cd363f173adaf280b0f9/C/Image24476.gif">)，所以A(－8，0)，B(－4，0)，C(0，4)． 　　(3)因?yàn)镼點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍，所以O(shè)Q=2AP=2k(k＞0)． 　　假設(shè)存在這樣的k值，使以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，則有兩種情況： 　�、賀t△POQ∽Rt△AOC(如圖) 　　因?yàn)?img align="absmiddle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0082/9e3cd2ff1f33cd363f173adaf280b0f9/C/Image24478.gif">，PO=8－k，AO=8，OC=4，所以，所以k=． 　�、赗t△QOP∽Rt△AOC(如圖) 　　因?yàn)?img align="absmiddle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0082/9e3cd2ff1f33cd363f173adaf280b0f9/C/Image24482.gif"> 　　所以存在滿足條件的k值，當(dāng)或k=4時(shí)，以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．