Question

17．如圖，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中點，以CD長為直徑作圓，交BC于E，過E作EH⊥AB于H．
（1）求證：OE∥AB；
（2）若EH=$\frac{1}{2}$CD，求證：AB是⊙O的切線；
（3）在（2）的條件下，若BE=4BH，求$\frac{BH}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可以判斷出∠B=∠OEC，然后由同位角相等得出OE∥AB；
（2）作輔助線（過點O作OF⊥AB于點F，過點O作OG∥BC交AB于點G）構(gòu)建平行四邊形OEHF，然后由“平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)”、由已知條件求得OF=EH=$\frac{1}{2}$CD，即OF是⊙O的半徑；最后根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；
（3）求出△EHB∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴AB=CD，∠B=∠C；
又∵CD是直徑，點O是腰CD的中點，
∴點O是圓心，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠C（等邊對等角），
∴∠OEC=∠B（等量代換），
∴OE∥AB（同位角相等，兩直線平行）；

（2）證明：過點O作OF⊥AB于點F．
∵由（1）知，OE∥AB，
∴OE∥FH；
又∵EH⊥AB，
∴FO∥HE，
∴四邊形OEHF是平行四邊形（有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形），
∴OF=EH（平行四邊形的對邊相等）；
∵EH=$\frac{1}{2}$CD，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD，即OF是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；

（3）解：連接DE．
∵CD是直徑，
∴∠DEC=90°（直徑所對的圓周角是直角），則∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴$\frac{BH}{CE}$=$\frac{BE}{CD}$，
∵BE=4BH，
∴設(shè)BH=k，則BE=4k，EH=$\sqrt{B{E}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$k；
∴CD=2EH=2$\sqrt{15}$k
∴$\frac{BH}{CE}$=$\frac{BE}{CD}$=$\frac{4k}{2\sqrt{15}k}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形、矩形解決有關(guān)問題．