Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，8），B（10，0），C（7，4），AD∥x軸，與直線BC交于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線A-O-B的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間是t秒，設(shè)△ACP的面積是S．
（1）求BC所在直線的解析式，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系，并指出自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，t在OA上時(shí)，利用三角形的面積公式求解；
當(dāng)8＜t≤18時(shí)，P在OB上，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)S=S_梯形AOEC-S_直角△AOP-S_直角△PCE求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，PC=BC，當(dāng)P在OB上時(shí)，分BP=BC和BP=BC三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則

10k+b=0 7k+b=4

，
解得：

k=- 4 3 b= 40 3

，
則直線BC的解析式是：y=-

4

3

x+

40

3

，
令y=8，則-

4

3

x+

40

3

=8，
解得：x=4，
則D的坐標(biāo)是（4，8）；

（2）OA=8，當(dāng)0≤t≤8時(shí)，t在OA上，
AP=t，則S=

1

2

AP•7=

7

2

x；
當(dāng)8＜t≤18時(shí)，P在OB上，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則E的坐標(biāo)是（7，0），CE=4，
則S_梯形AOEC=

1

2

（OA+CE）×OE=

1

2

（8+4）×7=42，
在直角△AOP中，OP=x-8，
則S_直角△AOP=

1

2

×8×（x-8）=4x-32，
直角△PCE中，PE=7-（8-x）=x-1，則S_直角△PCE=

1

2

（x-1）×4=2x-2．
則S=S_梯形AOEC-S_直角△AOP-S_直角△PCE=42-（4x-32）-（2x-2）=76-6x；

（3）BC=

(10-7)2+42

=5，
當(dāng)P在OA上時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，m），此時(shí)，CP=BC，則7²+（m-4）²=5²，方程無(wú)解；
當(dāng)P在OB上時(shí)，若BP=BC=5時(shí)，OP=10-5=5，則t=8+5=13；
當(dāng)P在OB上時(shí)，若PC=BC，設(shè)P的坐標(biāo)是（n，0），則5²=（7-n）²+16，
解得：n=4或10（舍去）．則t=8+4=12．
總之，t=13或12時(shí)，以P，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及三角形的面積的計(jì)算，正確分情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．