Question

如圖，拋物線y＝x²－x－12與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)．

（1）求△AOB的外接圓的面積；

O

（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動。問當(dāng)t為何值時，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？

（3）若M為線段AB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N．

①是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBAN面積的最大值．

O

                                   

Answer 1

（1）由題意得：A（9，0），B（0，－12）  

        ∴OA＝9，OB＝12，∴AB＝15 

        ∴S＝π·()²＝π．

（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6

     若△APQ∽△AOB，則＝．∴t＝． 

     若△AQP∽△AOB，則＝．∴t＝＞6（舍去，不舍扣1分）． 

∴當(dāng)t＝時，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－12．

    設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x－12），N（x，x²－x－12）．

①     若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12

 ∴(x－12)－(x²－x－12)＝12

即x²－9x＋27＝0

∵△＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，

∴不存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．   

②∵S_{四邊形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN=72+ S_△ABN

∵S_△AOB＝54，S_△OBN＝6x  ，S_△OAN＝·9·＝－2x²＋12x＋54

∴S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54

＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋

∴當(dāng)x＝時，S_△ABN 最大值＝

此時M（，－6）

S_{四邊形CBNA}最大=  ．