Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…是直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)；點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，在x軸正半軸上，且△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均為等邊三角形，若A₁的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)么B₅的坐標(biāo)是（24，8$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)△B_nA_nA_n+1的邊長(zhǎng)為a_n，根據(jù)直線的解析式能的得出∠A_nOB_n=30°，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出∠OB_nA_n=30°，從而得出A_nB_n=OA_n．列出部分a_n的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律“a_n+1=2a_n”，依此規(guī)律結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)△B_nA_nA_n+1的邊長(zhǎng)為a_n，
∵點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…是直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
∴∠A_nOB_n=30°，
又∵△B_nA_nA_n+1為等邊三角形，
∴∠B_nA_nA_n+1=60°，
∴∠OB_nA_n=30°，
∴A_nB_n=OA_n．
∵點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，0），
∴a₁=1，a₂=1+1=2=2a₁，a₃=1++a₁+a₂=4=2a₂，a₄=1+a₁+a₂+a₃=8=2a₃，…，
∴a_n+1=2a_n．
∴a₅=2a₄=16，a₆=2a₅=32，
∵△A₅B₅A₆為等邊三角形，
∴點(diǎn)B₅的坐標(biāo)為（a₆-$\frac{1}{2}{a}_{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a₆-$\frac{1}{2}{a}_{5}$））=（24，8$\sqrt{3}$）．
故答案為：（24，8$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“a_n+1=2a_n”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關(guān)鍵．