Question

已知拋物線y＝x²－2x＋m－1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B．

(1)求m的值；

(2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；

(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線，且與x軸的左半軸

交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線上求點P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵拋物線y＝x2－2x＋m－1與x軸只有一個交點，∴△＝(－2)2－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2． 　　(2)由(1)知拋物線的解析式為y＝x2－2x＋1，易得頂點B(1，0)，當x＝0時，y＝1，得A(0，1)． 　　由1＝x2－2x＋1解得x＝0(舍)，或x＝2，所以C(2，1)． 　　過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD＝1，BD＝xD－xB＝1． 　　∴在Rt△CDB中，∠CBD＝45° ，BC＝． 　　同理，在Rt△AOB中，AO＝OB＝1，于是∠ABO＝45° ，AB＝． 　　∴∠ABC＝180° －∠CBD－∠ABO＝90° ，AB＝BC，因此△ABC是等腰直角三角形． 　　(3)由題知，拋物線C′的解析式為y＝x2－2x－3，當x＝0時，y＝－3；當y＝0時，x＝－1，或x＝3， 　　∴E(－1，0)，F(0，－3)，即OE＝1，OF＝3． 　　①若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P1(x1，y1)，作P1M⊥x軸于M． 　　∵∠P1EM＋∠OEF＝∠EFO＋∠OEF＝90° ， 　　∴∠P1EM＝∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是，即EM＝3P1M． 　　∵EM＝x1＋1，P1M＝y1，∴x1＋1＝3y1．(*) 　　由于P1(x1，y1)在拋物線C′上，有3(x12－2x1－3)＝x1＋1， 　　整理得3x12－7x1－10＝0，解得x1＝－1(舍)，或． 　　把代人(*)中可解得．∴P1(，)． 　�、谌粢�F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2(x2，y2)，作P2N⊥與y軸于N． 　　同①，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，得，即P2N＝3FN． 　　∵P2N＝x2，FN＝3＋y2，∴x2＝3(3＋y2)．(**) 　　由于P2(x2，y2)在拋物線C′上，有x2＝3(3＋x22－2x2－3)， 　　整理得3x22－7x2＝0，解得x2＝0(舍)，或． 　　把代人(**)中可解得．∴P2(，)． 　　綜上所述，滿足條件的P點的坐標為(，)或(，)．