Question

1．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成三條線段AM、MN和BN，若MN²=AM•BN，則稱MN是線段AB的比例中段，M、N是線段AB的中段分點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)M、N是線段AB的中段分點(diǎn)．
①若AM=2，MN=3，則BN=$\frac{9}{2}$；
②在圖1中，若AB=7，MN=2，求AM的長．
（2）如圖2，在△ABC中，MN是線段AB的比例中段，F(xiàn)、G分別是線段AC、BC延長線上的點(diǎn)，且FG∥AB，MC、NC的延長線分別交線段FG于點(diǎn)P，K．探究PK是否為線段FG的比例中段，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)M、N是線段AB的中段分點(diǎn)，可得MN²=AM•BN，據(jù)此進(jìn)行計算即可；
（2）設(shè)$\frac{GF}{AB}$=k，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出$\frac{GK}{BN}$=k，$\frac{KP}{MN}$=k，$\frac{PF}{AM}$=k，再根據(jù)MN²=AM•BN，得出KP²=GK•PF，即可得到PK是線段FG的比例中段．

解答 解：（1）①由題可得，MN²=AM•BN，AM=2，MN=3，
∴BN=$\frac{9}{2}$；
故答案為：$\frac{9}{2}$；
②設(shè)AM=x，則由題可得：2²=x（5-x），
解得x=1或4，
∴AM的長為1或4；

（2）PK是線段FG的比例中段．
理由：設(shè)$\frac{GF}{AB}$=k，
∵FG∥AB，
∴$\frac{GK}{BN}$=$\frac{GC}{BC}$=$\frac{GF}{AB}$=k，
同理，$\frac{KP}{MN}$=k，$\frac{PF}{AM}$=k，
∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，
∵M(jìn)N是線段AB的比例中段，
∴MN²=AM•BN，
∴k²MN²=kMN•kBN，
∴KP²=GK•PF，
即PK是線段FG的比例中段．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．