Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3交軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C。

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；
（3）連接AC，在軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形，若存地，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x2+2x+3交x軸于A，B兩點 ∴-x2+2x+3=0， 解得x1=3，x2=-1 ∴點A（-1，0），B（3，0） 又∵拋物線y=-x2+2x+3交y軸于點C， ∴點C（0，3）。
（2）∵拋物線y=-x2+2x+3的定點為M ∴ ∴M（1，4） ∴過點M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1， ∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3 ∴S△BCM=S△BOC=3。
（3）存在點P i）以AC為腰： ①當以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交x軸于點P1，P2（P1在P2的右側(cè)） ∴P1O=+1，P2O=-1 ∴ ②以點C為圓心，AC為半徑畫弧交x軸于點P3 ∴點P3與點A關(guān)于y軸對稱，則點P3坐標為（1，0）， ii）以AC為底邊：作AC的垂直平分線交x軸于點P4，垂足為F， 則AF= ∵∠AFP4=∠AOC=90°，∠CAO=∠P4AF ∴△AOC∽△AFP4 ∴ ∴ ∴AP4=5 ∴OP4=5-1=4 ∴P4（4，0） ∴點P的坐標為：P1（-1，0），P2（--1，0）， P3（1，0），P4（4，0）。