Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動點(diǎn)，連接OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作軸垂線，分別交軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF．

【小題1】當(dāng)∠AOB=30°時，求弧AB的長度
【小題2】當(dāng)DE=8時，求線段EF的長；
【小題3】在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。
∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的長=。
【小題2】連接OD，

∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線�！郞D=OA=10。
在Rt△ODE中，OE=。
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。
∴，即，∴EF=3。
【小題3】設(shè)OE=，
①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即OE=，∴E₁（，0）。
當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5﹣，AE=10﹣，
∴CF∥AB，有CF=AB。
∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，�！郋₂（，0）。
②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。
連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。
∴CF∥BE。∴。
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90⁰，∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴。即，
解得
∵＜0，舍去，∴E₃（，0）。

∵＜0，舍去，
又∵點(diǎn)E在軸負(fù)半軸上，∴E₄（，0）。
綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，此時點(diǎn)E坐標(biāo)為：
E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）。

解析