Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），將線(xiàn)段OC向上平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到線(xiàn)段AB（點(diǎn)B和點(diǎn)A分別是點(diǎn)C和點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），且a是方程$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1的解，連接BC；
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；B（8，5）；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)O→A→B勻速運(yùn)動(dòng)，B為終點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線(xiàn)段AP的長(zhǎng)為d，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中請(qǐng)用含t的式子表示d；
（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)A→B→C→O勻速運(yùn)動(dòng)，連接OP和OQ，當(dāng)OQ分四邊形OABC的面積為1：3時(shí)，求出t的值及△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1得到a=5，可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，5）．
（2）當(dāng)0≤t＜5時(shí)，d=5-t．當(dāng)5≤t≤13時(shí)，d=t-5．
（3）分兩種情形討論①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q是AB中點(diǎn)時(shí)，OQ分四邊形OABC的面積為1：3．如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)時(shí)，OQ分四邊形OABC的面積為1：3，分別求解即可．

解答 解：（1）由$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1得到a=5，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，5）．
故答案為（8，5）．

（2）當(dāng)0≤t＜5時(shí)，d=5-t．
當(dāng)5≤t≤13時(shí)，d=t-5．

（3）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q是AB中點(diǎn)時(shí)，OQ分四邊形OABC的面積為1：3，

此時(shí)t=$\frac{4}{2}$=2，OP=2，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)時(shí)，OQ分四邊形OABC的面積為1：3，

此時(shí)t=$\frac{12.5}{2}$=$\frac{25}{4}$s，AP=$\frac{25}{4}$-5=$\frac{5}{4}$，PB=8-$\frac{5}{4}$=$\frac{27}{4}$，
∴S_△POQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△PQB-S_△OCQ=5×8-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{27}{4}$=$\frac{295}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、三角形的面積、一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．