Question

（1）如圖（1），△ABC為正三角形，點M是BC上任一點，點N是邊AC上任一點，且BM=CN，直線AM與BN相交于點Q．∠BQM等于多少度？請說明理由；
（2）如圖（2），四邊形ABCD為正方形，點M是BC上任一點，點N是邊CD上任一點，且BM=CN，直線AM與BN相交于點Q．∠BQM等于多少度？簡要說明理由；
（3）如圖（3），在正五邊形ABCDE中，點M是BC上任一點，點N是邊CD上任一點，且BM=CN，直線AM與BN相交于點Q．∠BQM等于多少度？

Answer 1

解：（1）∠BQM=60度．
理由：由條件得△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°．

（2）∠BQM=90°．
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CBN+∠AMB=90°
∴∠BQM=90°．

（3）∠BQM=108°．
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=108°，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC
∵∠BAM+∠AMB=72°
∴∠CBN+∠AMB=72°
∴∠BQM=108°．
分析：本題是變式拓展題，需要從圖（1）中尋找解題方法，圖（2）（3）類似；從圖（1）中不難得出△ABM≌△BCN，利用對應角相等，外角和定理可求∠BQM=60度．
點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等性質的運用及學會對問題的拓展．