Question

13．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點B，C和點A（-1，0）．
（1）求B，C兩點坐標；
（2）求該二次函數的關系式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D，點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明問題．

Answer 1

分析 （1）由直線y=-$\frac{1}{2}$x+2即可求得B、C的坐標；
（2）待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（3）過C點作CM⊥EF于M，設E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則EF=-$\frac{1}{2}$a²+2a，然后根據S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF即可得出S關于a的解析式，根據解析式的性質求得函數的最大值，進而求得E的坐標；
（4）先求得CD的長，然后根據△CDP是以CD為腰的等腰三角形，求得CP₁=DP₂=DP₃=CD，作CE⊥對稱軸于E，得出EP₁=ED=2，DP₁=4，從而求得P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

解答 解：（1）令x=0，則y=-$\frac{1}{2}$x+2=2；令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$x+2，解得x=4，
所以B（4，0），C（0，2）；

（2）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B的坐標代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴該二次函數的關系式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（3）如圖2，過C點作CM⊥EF于M，
設E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，（0≤a≤4），
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，（0≤a≤4），
∴a=2時，S_{四邊形CDBF}的最大值為$\frac{13}{2}$；
∴E（2，1）；

（4）存在，
如圖3，∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的對稱軸x=-$\frac{2a}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∵C（0，2），
∴OC=2，
在RT△OCD中，由勾股定理得CD=$\frac{5}{2}$，
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD，
如圖所示，作CE⊥對稱軸于E，
∴EP₁=ED=2，
∴DP₁=4，
∴P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值，線段的長度，等腰三角形的性質等，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．