Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上， cm， OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；

（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；

（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

 

Answer 1

解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8    ∴OQ=8－t

∴S_△OPQ＝（0＜t＜8）

(2) ∵S_{四邊形OPBQ}＝S_矩形ABCD－S_△PAB－S_△CBQ

＝＝32   

∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32       

（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí), △QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°

    又∵BQ與AO不平行    ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ

∴根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP

∴解得：t＝4    

經(jīng)檢驗(yàn)：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關(guān)系和速度）

此時(shí)P（，0）

∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，

∴拋物線是，直線BP是：

設(shè)M（m, ）、N(m，)

∵M在BP上運(yùn)動(dòng)   ∴

∵與交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P

∴當(dāng)時(shí)，            

∴＝  ∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是2

∴設(shè)MN與BQ交于H 點(diǎn)則、

∴S_△BHM＝＝

∴S_△BHM ：S_{五邊形QOPMH}＝＝3:29

∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29．