Question

如圖，已知Rt△ADC中，∠D=90°，以AD為直徑的⊙O交斜邊AC于F，OE∥AC，交DC于E．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）求證：2EF²=CF•OE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OF、DF交OE于點(diǎn)G，在△ODF和△EFD中，利用等邊對(duì)等角證明∠ODF=∠OFD，∠EDF=∠EFD，則∠OFE=∠ODC=90°，從而證得；
（2）利用切割線定理，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用CD分別表示出2EF²和CF•OE，即可證得．

解答：證明：（1）連接OF、DF交OE于點(diǎn)G．
∵AD是圓的直徑，
∴∠AFD=90°，即∠DF⊥AC，
又∵OE∥AC，
∴OE⊥DF，
又∵OD=OF，
∴DG=GF，∠ODF=∠OFD，
∴DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∴∠OFE=∠ODC=90°，
∴OF⊥EF，則EF是圓的切線；
（2）證明：∵O是AB的中點(diǎn)，OE∥AC，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE=

1

2

AC，即AC=2OE，
又∵CD是圓的切線，
∴CD²=CF•AC=2CF•OE，即CF•OE=

1

2

CD²．
∵在直角△DFC中，E是CD的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

CD，即CD=2EF，
∴2EF²=

1

2

CD²，
∴2EF²=CF•OE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理、切割線定理和直角三角形的性質(zhì)定理，利用CD分別表示出2EF²和CF•OE是關(guān)鍵．