Question

已知等腰Rt△OAA₁，∠A=90°，OA=AA₁=1，以O(shè)A₁為直角邊按逆時(shí)針方向作第2個(gè)等腰Rt△OA₁A₂，按此作法下去，可以得到第3個(gè)等腰Rt△OA₂A₃，第4個(gè)等腰Rt△OA₃A₄，…，第n個(gè)等腰Rt△OA_n-1A_n（如圖所示）．
（1）求第1個(gè)等腰直角三角形的面積；
（2）求第5個(gè)等腰直角三角形的面積；
（3）根據(jù)規(guī)律直接寫出第n個(gè)等腰Rt△OA_n-1A_n的面積．

Answer 1

解：（1）∵∠A=90°，OA=AA₁=1，
∴第1個(gè)等腰直角三角形的面積=×1×1=；

（2）∵∠A=90°，OA=AA₁=1，
∴OA₁==OA=，
同理，OA₂=OA₁=×=（）²，
…，
第5個(gè)等腰直角三角形直角邊OA₄=（）⁴=4，
所以，第5個(gè)等腰直角三角形的面積=×4×4=8；

（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，第n個(gè)等腰直角三角形的直角邊OA_n-1=（）^n-1，
所以，第n個(gè)等腰Rt△OA_n-1A_n的面積=×（）^n-1×（）^n-1=×2^n-1=2^n-2．
分析：（1）根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，斜邊是直角邊的倍，求出第5個(gè)等腰直角三角形的直角邊，然后利用面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)后一個(gè)三角形的直角邊是前一個(gè)三角形的直角邊的倍，表示出等腰Rt△OA_n-1A_n的直角邊，再利用面積公式列式計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)后一個(gè)三角形的直角邊是前一個(gè)三角形的直角邊的倍，表示出第n個(gè)等腰直角三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵．