Question

（2013•海淀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線y=

1

2

x+4m+n經(jīng)過點(diǎn)B．
①求直線和拋物線的解析式；
②點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作y軸的垂線l，垂足為D（0，d）．將拋物線在直線l上方的部分沿直線l翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象G．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)圖象G與直線y=

1

2

x+4m+n只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，d的取值范圍是

-

5

2

＜d＜0

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對(duì)稱軸公式求得拋物線的對(duì)稱軸為：x=-

-2m

2m

=1．依此即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①將B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線y=mx²-2mx+n和直線y=

1

2

x+4m+n，得到關(guān)于m，n的方程組，求得m，n的值，從而得到直線和拋物線的解析式；
②要使得直線

1

2

y=x-2與新圖象G僅有兩個(gè)交點(diǎn)，須保證點(diǎn)P在直線下方，而點(diǎn)F在直線上方，分析即可求解．

解答：解：（1）依題意，可得拋物線的對(duì)稱軸為：x=-

-2m

2m

=1．
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （4，0）；

（2）∵點(diǎn)B在直線y=

1

2

x+4m+n上，
∴0=2+4m+n①．
∵點(diǎn)A在二次函數(shù)y=mx²-2mx+n的圖象上，
∴0=4m+4m+n②．
由①、②可得m=

1

2

，n=-4．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-x-4，直線的解析式為y=

1

2

x-2． 

（3）翻折圖象即是FDP直線下方的圖象．要使得直線

1

2

y=x-2與新圖象G僅有兩個(gè)交點(diǎn)，須保證點(diǎn)P在直線下方，而點(diǎn)F在直線上方．
最低點(diǎn)G（1，-

9

2

）．點(diǎn)D為（0，d），把-

9

2

≤y=d＜0代入原拋物線方程y=

1

2

x²-x-4=d，
解得：x₁=1-

2d+9

，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，
x₂=1+

2d+9

，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)
所以：d＞y₁=

1

2

x₁-2=

1

2

（1-

2d+9

）-2，即：

2d+9

＞-（2d+3）…（a）
d＜y₂=

1

2

x₂-2=

1

2

（1+

2d+9

）-2，即：

2d+9

＞2d+3…（b）
當(dāng)2d+3≤0即-

9

2

≤d≤-

3

2

時(shí)，（b）成立，（a）兩邊平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：-

5

2

＜d＜-

3

2

；
當(dāng)2d+3≥0即-

3

2

≤d＜0時(shí)，（a）成立，（b）兩邊平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：-

3

2

≤d＜0
綜上所述：-

5

2

＜d＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)函數(shù)之間的關(guān)系建立方程是解答本題的關(guān)鍵．