Question

如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，點M是AB上一點．
操作：作MN⊥AC，垂足為N，連接MC，取MC的中點P，連接BP、NP．
探究：
（1）請猜想與線段BP相關(guān)的三個結(jié)論．
（2）把△AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意角度α，請利用圖2，圖3，選擇△AMN不同位置進(jìn)行操作．
（3）經(jīng)歷（2）以后，在旋轉(zhuǎn)過程中選取你認(rèn)為始終成立的兩個結(jié)論，用圖②或圖③加以說明．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意猜想：PB=NP，BP=MP=PC，BP⊥NP；

（2）如圖2、3；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中始終成立的兩個結(jié)論是：PB=NP，BP⊥NP；
證明：如圖2，把△NMP繞N點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△NAD，連接BD，
∴△NMP≌△NAD，
∴ND=NP，ND⊥NP，AD=MP=PC，
∵△AMN和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠NMP=∠NAD=135°，
∴∠DAB=135°-90°=45°，
∴△ADB≌△CPB（SAS），
∴∠ABD=∠CBP，
∴∠DBP=90°，
∴四邊形DNPB是正方形，
∴BP=NP，BP⊥NP；

如圖3，把△BPC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°得△BDA，連接BD，延長NA交BD于點E、延長NM到F，
∴△BPC≌△PDA，
∴∠DAE=∠AEM，又MN∥AC，
∴∠DAE=∠CMF，
∴∠NAD=∠NMP，
∴△NAD≌△NMP，
同理，可證四邊形DNPB是正方形，
∴BP=NP，BP⊥NP．
分析：（1）由題意可猜想，PB=NP，BP=MP=PC，BP⊥NP；
（2）圖2：把△AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°；圖3：把△AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°；
（3）如圖2，把△NMP繞N點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△NAD，連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，只要證明四邊形DNPB是正方形，即可證得結(jié)論；圖3，同理，只要證明四邊形DNPB是正方形；
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，等腰直角三角形，關(guān)鍵要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． ③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．