Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A、B的對應(yīng)點C、D，連接AC、BD、CD．
（1）求點C、D的坐標及四邊形ABDC的面積．
（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA、PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．
（3）點P是線段CD上的一個動點，連接PA、PB，當點P在CD上移動時（不與C、D重合）給出下列結(jié)論：①$\frac{∠CAP+∠DBP}{∠APB}$的值不變；②$\frac{∠CAP+∠APB}{∠DBP}$的值不變；其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你找出這個結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移規(guī)律，直接得出點C，D的坐標，根據(jù)：四邊形ABDC的面積=AB×OC求解；
（2）存在．設(shè)點P到AB的距離為h，則S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h，根據(jù)S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，列方程求h的值，確定P點坐標．
（3）當點P在線段CD上，作PM∥AC交AB于點M，得到∠APM=∠CAP，因為AC∥BD，所以PM∥BD，得到∠BPM=∠DBP，所以∠APB=∠APM+∠BPM=∠CAP+∠DBP，即可解答．

解答 解：（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OC=4×2=8；
（2）在y軸上是否存在一點P，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}．理由如下：
設(shè)點P到AB的距離為h，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）如圖2，

當點P在線段CD上，作PM∥AC交AB于點M，
∵PM∥AC，
∴∠APM=∠CAP，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠BPM=∠DBP，
∴∠APB=∠APM+∠BPM=∠CAP+∠DBP，
∴$\frac{∠CAP+∠DBP}{∠APB}=1$，
故①正確．

點評 本題考查了坐標與圖形平移的關(guān)系，坐標與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系及三角形、平行四邊形的面積公式，解題的關(guān)鍵是理解平移的規(guī)律．