Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，O是AB的中點，點D在BA的延長線上，以D為直角頂點作RT△DEF，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：計算題

分析：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：連接CO，則CO為AB邊長的中線，利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=OB，再由CA=CB，得到∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，進(jìn)而得到∠2=∠B，得到四邊形DMCN為矩形，得到DN=MC，MC=NB，且夾角相等，利用SAS得到三角形MOC與三角形NOB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OM=ON，∠MOC=∠NOB，利用等式的性質(zhì)得到OM⊥ON．

解答：解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
連接CO，則CO是AB邊上的中線，
∵∠ACB=90°，
∴OC=

1

2

AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，
∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴DN=NB，
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°，
又∵BN⊥DE，
∴∠DNC=90°
∴四邊形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∴MC=NB，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．