Question

如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C（1，a）是直線與雙曲線y=

m

x

的一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．若在y軸上有一點(diǎn)E，使得以E、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：直線y=kx+2與y軸交于B點(diǎn)，則OB=2；由C（1，a）及△BCD的面積為1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），再根據(jù)△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD兩種情形求解．

解答：解：∵CD=1，△BCD的面積為1，
∴BD=2．
∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）．
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（O，4），
∴a=4，
∴C（1，4）．
∵直線y=kx+2過(guò)C點(diǎn)，
∴4=k+2，k=2，
∴直線解析式為y=2x+2．
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），B（0，2），
∴AB=

5

，BC=

5

，
當(dāng)△BAE∽△BCD時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，點(diǎn)E坐標(biāo)為（O，0）；
當(dāng)△BEA∽△BCD時(shí)，

AB

DB

=

BE

BC

，
∴

5

2

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

，
∴OE=

1

2

，
此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-

1

2

）．
綜上所述，當(dāng)E為（0，0）或（0，-

1

2

）時(shí)以E、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．
故答案為：（0，0）或（0，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是求交點(diǎn)C的坐標(biāo)以及相似形中的分類(lèi)討論思想，搞清楚對(duì)應(yīng)關(guān)系．