Question

19．如圖，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分別過(guò)A、B作過(guò)C的直線l的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求證：△AMC≌△CNB；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，可得∠MAC=∠NCB，再根據(jù)AAS即可判定△AMC≌△CNB；
（2）根據(jù)△AMC≌△CNB，即可得出CM=BN=5，再根據(jù)Rt△ACM中，AC的長(zhǎng)，即可得出等腰直角三角形ABC中AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°-90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠BNC}\\{∠MAC=∠NCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）∵△AMC≌△CNB，
∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{34}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{68}$=2$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．