Question

13．如圖：把一個矩形如圖折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF．
（1）找出圖中的全等三角形；
（2）連結BE，探究四邊形BFDE是什么特殊四邊形，并說明BD與EF的關系；
（3）若CD=4，BC=8，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由于矩形沿EF折疊，使頂點B和D重合，根據(jù)折疊的性質得到AB=A′D，∠A′=∠A=90°，∠BFE=∠DFE，而AB=CD，則A′D=DC，利用AD∥BC得到∠BFE=∠FED，則∠DFE=∠FED，所以DE=DF，根據(jù)直角三角形全等的判定方法得到Rt△A′ED≌Rt△CFD；
（2）根據(jù)折疊的性質得到∠BFE=∠DFE，又AD∥BC，得到∠BFE=∠FED，則∠DFE=∠FED，于是DE=DF，根據(jù)折疊的性質得到FB=FD，EB=ED，根據(jù)DE=DF，得到DE=EB=BF=FD，根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形BEDF是菱形，然后根據(jù)菱形的性質得到BD與EF互相平分垂直；
（3）連接BD，設CF=xcm，則BF=DF=（8-x）cm，則（8-x）²=x²+4²，解得x的值，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得出BD，再根據(jù)菱形的面積公式：底乘高以及對角線乘積的一半得出EF即可．

解答 解：（1）由折疊的不變性可得：△A′ED≌△CFD；
（2）∵矩形沿EF折疊，使頂點B和D重合，
∴∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠FED，
∴∠DFE=∠FED，
∴DE=DF，
連BE、BD，∵矩形沿EF折疊，使頂點B和D重合，
∴FB=FD，EB=ED，
∴DE=DF，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四邊形BEDF是菱形，
∴BD與EF相互垂直平分，
（3）連接BD，設CF=xcm，則BF=DF=（8-x）cm，則（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD=3×4，
∴$\frac{1}{2}$EF×4$\sqrt{5}$=4×3
解得EF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$cm．

點評 本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了全等三角形的判定、矩形的性質以及菱形的判定與性質．