Question

2．在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，△BCF和△CDG都是等邊三角形，點M為AE的中點，連接FG．
（1）如圖1，若點E在AC的延長線上，點M與點C重合，則△FMG是等邊三角形（填“是”或“不是”）
（2）將圖1中的CE縮短，得到圖2．求證：△FMG為等邊三角形；
（3）將圖2中的CE繞點E順時針旋轉一個銳角，得到圖3．求證：△FMG為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，易證FM=BM=MD=MG，∠FMG=60°，即可得到△FMG是等邊三角形；
（2）如圖2，易證BD=BC+CD=AM，從而可得MD=AB．由△BCF和△CDG都是等邊三角形，可得BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，從而可證到MD=BF，BM=GD，進而可得到△FBM≌△MDG，則有MF=GM，∠BFM=∠DMG，從而可證到∠FMG=60°，即可得到△FMG為等邊三角形；
（3）如圖3，連接BM、DM，根據(jù)三角形中位線定理可得BM∥CE，BM=$\frac{1}{2}$CE=CD，DM∥AC，DM=$\frac{1}{2}$AC=BC．再根據(jù)△BCF和△CDG都是等邊三角形，可得BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，從而得到BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．由BM∥CE，DM∥AC，可得四邊形BCDM是平行四邊形，從而得到∠BMD=∠DCB=120°，∠CDM=∠MBC=60°，即可得到∠FBM=∠GDM=120°，即可得到△FBM≌△MDG，則有MF=GM，∠FMB=∠MGD，從而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-∠GMD=∠BMD-∠MGD-∠GMD=60°，即可得到△FMG為等邊三角形．

解答 證明：（1）如圖1，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，點M與點C重合，
∴AB=BM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$ME=MD=DE．
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，點M與點C重合，
∴FM=BM，MD=GM，
∴FM=GM．
∵∠FMG=180°-60°-60°=60°，
∴△FMG是等邊三角形．
故答案為：是；

（2）如圖2，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，
∴AB=BC=$\frac{1}{2}$AC，CD=DE=$\frac{1}{2}$CE，AM=ME=$\frac{1}{2}$AE，
∴BD=BC+CD=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AE=AM，即BM+MD=BM+AB，
∴MD=AB．
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，
∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，
∴MD=AB=BC=BF，BM=BC-MC=MD-MC=CD=GD．
在△FBM和△MDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=∠MDG}\\{BM=DG}\end{array}\right.$，
∴△FBM≌△MDG，
∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．
∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°，∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°，
∴∠FMG=∠FBM=60°，
∴△FMG為等邊三角形；

（3）如圖3，設FM與AC交于點O，連接BM、DM，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，
∴BM∥CE，BM=$\frac{1}{2}$CE=CD，DM∥AC，DM=$\frac{1}{2}$AC=BC．
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，
∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，
∴BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．
∵BM∥CE，DM∥AC，
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CDM=∠MBC，
∴∠FBM=∠MBC+60°=∠CDM+60°=∠GDM．
在△FBM和△MDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=MDG}\\{BM=DG}\end{array}\right.$，
∴△FBM≌△MDG，
∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．
∵DM∥BC，
∴∠FOC=∠FMD．
∵∠FOC=∠BFM+60°，∠FMD=∠DMG+∠FMG，
∴∠FMG=60°，
∴△FMG為等邊三角形．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質等知識，借鑒解決第（2）小題的經驗（通過證明△FBM≌△MDG來解決問題），是解決第（3）小題的關鍵．