Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系

（1）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）若在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由．

（3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)F，且以O、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=，

∴AC=4．

∴AB=．

設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對(duì)稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，

∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．

∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4－m)²，得 m=．

∴OC=，OA=AC－OC=，

∴O（0，0） A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分

設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x－）．

把x=，y=3代入解析式，得a=．

∴y=x（x－）=．

 即過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=．…………………………4分

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：

                －

                

解之得 k= －，b=．

∴直線AB的解析式為y=．………………………………………………6分

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，），則M（t，）．………………………………7分

∴d=（）—（）=—=

    ∴當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2．………………………………………………8分

(3)設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D．

∵y==，

∴拋物線的對(duì)稱軸x=，頂點(diǎn)D（，－）．

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．

①       當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（）．……………………………………………………………………………10分

②       當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=，知拋物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或，即或，分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y=中，得點(diǎn)

E（，）或E（－，）．

所以在拋物線上存在三個(gè)點(diǎn)：E₁（，－），E₂（，），E₃（－，），使以O、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分